\chapter{Maxwell方程, 静电学, 静磁学与电动力学}
\section{引论}

在本章中，假设读者已有电磁学(EM)的基础，我们简要介绍麦克斯韦方程组。
这里的主要思想是回顾事后研究的工作所必需的主要概念。
此外，我们定义和建立将在以下章节中使用的主要物理量的符号也是有意义的。

电磁学(EM)可以用麦克斯韦方程组和本构关系来描述。
电磁理论需要很长时间才能建立起来，可以通过电磁量是``抽象的''，或者换句话说，
不能``看到''或``触摸''的事实来理解(与大多数其他量相反，例如机械量和热量)。
实际上，大多数电磁现象是由麦克斯韦之前的其他科学家建立的，例如安培(1775-1836)、高斯(1777-1855)、法拉第(1791-1867)、
伦茨(1804-1865)等。然而，该公式存在一些不兼容，麦克斯韦(Maxwell，1831-1879)通过在安培定律中引入附加项(1862 年)，可以用四个方程合成 EM。这个人的天才将EM带到了一种非常简单的形式主义，主要只由四个方程保持。这组方程（以及本构方程）的物理可能性如此之高，以至于它可以精确地描述非常不同的现象（如 PE 微波和永磁场）。虽然公式和基本概念相对简单, 
现实问题可能非常复杂且难以解决。事实上，当复杂的几何形状、非线性、许多非静力场源等一起出现(有时甚至单独出现)时，
几乎不可能找到此类问题的分析解决方案，这就是数值方法成为当今电气工程中广泛使用工具的主要原因。

在这项工作中，我们将对低频现象感兴趣，章节的内容主要集中在电磁的这一部分。
事实上，如上所述，麦克斯韦方程组并没有区分低频和高频，但将它们带到实际应用中，可以使它们适应这两种情况。
此外，在描述低频问题时，一般来说，麦克斯韦方程组可以分为两组：静电学和磁学，一个重要的方面是:
它们可以独立处理。下图(图\ref{fig:2_1})代表了 EM 及其可能（也是最常见的）划分。

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\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figure/fig2_1}
	\caption{物理应用的电磁学分类，在本图的每个块中，四个麦克斯韦方程组都适应相应的物理情况。}
	\label{fig:2_1}
\end{figure}

\section{电磁学量}

麦克斯韦方程组是一组应用于电磁量的空间和时间偏微分方程。当他们与材料相互作用时，方程可以采用非线性形式。
我们将原理或假设的属性归因于麦克斯韦方程组。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_2}
	\caption{由一个电荷或者一个等价的电荷分布\ $Q$ 产生的电场。}
	\label{fig:2_2}
\end{figure}
麦克斯韦方程中涉及的电磁学量为:
\begin{itemize}
	\item 电场强度\ $\textbf{E}$
	\item 电流通量密度或者电感应强度\ $\textbf{D}$
	\item 磁场强度\ $\textbf{H}$
	\item 磁通量密度或者磁感应强度\ $\textbf{B}$
	\item (表面)电流强度\ $\textbf{J}$
	\item (体)电荷密度\ $\rho$
\end{itemize}
此外, 我们定义:
\begin{itemize}
	\item 磁导率\ $\mu$
	\item 介电常数\ $\varepsilon$
	\item 电导率\ $\sigma$
\end{itemize}

接下来考虑这些量中每个的意义。为此，我们在这里假设已知电荷和电流的概念。

\subsection{电场强度\textbf{E}}

静止在空间中的电荷或电荷\ $Q$ 的集合具有在空间中产生电量的性质，称为电场强度\ $\textbf{E}$，如图\ref{fig:2_2}所示。

电场强度是一个矢量，服从矢量场规则。电场强度\ $\textbf{E} $的计算方式将在后续部分中显示。

\subsection{磁场强度\textbf{H}}

假设图\ref{fig:2_2}中的电荷或电荷的集合不是在空间中静止的，而是以给定的速度移动。
在这种情况下，会产生磁场强度\textbf{H}，如图\ref{fig:2_3}所示。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_3}
	\caption{移动电荷及其产生的磁场强度。}
	\label{fig:2_3}
\end{figure}

一个或多个移动的电荷导致了电流的思想。
这是矢量场\textbf{H}的最终结果，我们将很快介绍其计算方法。
如果这种电荷运动发生在导线中(就像大多数实际情况一样)，
电场强度几乎不存在，因为电子在导电材料原子的空位之间移动，并且电荷的净和基本上为零。

稍后我们将看到电场强度的变化也会产生磁场强度。

\subsection{磁通常密度\ $\textbf{B}$ 与磁导率\ $\mu$}

因为\ $\textbf{B}$ 是向量场, 我们可以定义通过一个表面\ $S$ 的通量\ $\Phi$ 为
$$
\Phi = \int_S\textbf{B}\cdot {d}\textbf{s}
$$
通量\ $\Phi$ 称为磁通量。

一个材料的磁导率\ $\mu$ 是

材料的磁导率\ $\mu$，表示材料的固有容量，并表示它对磁通量通过的影响程度。为了简单地展示\ $\mu$ 的含义，我们引入关系
$$
\textbf{B} = \mu\textbf{H}
$$
考虑两种具有相同几何形状的介质，它们具有不同的磁导率\ $\mu_1$和\ $\mu_2$，使得\ $\mu_1 > \mu_2$，如图\ref{fig:2_4}所示。
假设通过外部方式，我们在两种材料中产生磁场强度\ $\textbf{H}$，并且\ $\textbf{H}$ 在整个横截面\ $S$ 中保持恒定。然后
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_4}
	\caption{两种不同磁导率的材料在相同的场强下保持不同的磁通密度。}
	\label{fig:2_4}
\end{figure}
$$
\textbf{B}_1 = \mu_1\textbf{H}\quad\text{以及}\quad \textbf{B}_2 = \mu_2\textbf{H}\quad
$$
通量\ $\Phi_1$ 和\ $\Phi_2$ 为
$$
\Phi_1 = B_1 S = \mu_1 HS\quad\text{以及}\quad \Phi_2 = B_2 S = \mu_2 HS
$$
其中\ $B_1$ 和\ $B_2$ 是\ $\textbf{B}_1$ 和\ $\textbf{B}_2$ 垂直于\ $S$ 的值, 在该表面上是常值。

我们得到
$$
\dfrac{\Phi_1}{\Phi_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{\mu_1}{\mu_2}
$$

请注意，介质的磁导率越大，磁通密度和通过其横截面\ $S$ 的磁通量越大。
换句话说，\textbf{B}被称为``磁通密度''或``磁感应强度''，
因为这个量表示在介质内感应磁通量的能力。如上例所示，高磁通密度与高磁导率\ $\mu$ 相关。
使用术语``感应''和``渗透率''的字面含义，我们可以说在介质中``感应''了大通量，
并且介质对通量具有很高的``渗透性''。
空气的磁导率为\ $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}$ 亨利/米。

\subsection{电通量强度\ $\textbf{D}$ 与介电常数\ $\varepsilon$}

上面所示的\ $\textbf{D}$, $\varepsilon$和\ $\textbf{B}$ 与\ $\mu$ 之间存在直接平行关系。
\ $\textbf{D}$ 也称为``电感应强度''，它在高斯定理中起着重要作用，很快就会介绍。
尽管与磁量有相似之处，但它们之间存在一些显着差异。
第一个区别是\ $\varepsilon$ 在材料之间变化不大，与磁导率\ $\mu$相比完全不一样。
在有用的介电材料中，\ $\varepsilon$ 的变化不超过 100 倍，而\ $\mu$ 的变化通常可以达到\ $10^4$倍或更大的倍数。
第二个观察结果是，一般来说，在解决电场和电通密度问题时，我们对电场强度特别感兴趣，
而在磁学中，磁通密度在现象分析中起着主要作用。空气中介电常数为\ $\varepsilon_0 = 8.854\cdot 10^{-12}$ 法/米。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_5}
	\caption{2.5a直导体, 2.5b导体维度。}
	\label{fig:2_5}
\end{figure}

\subsection{表面电流密度\ $\textbf{J}$}

考虑一个具有均匀横截面积\ $S$ 的直导体，并且电流\ $I$ 沿图\ref{fig:2_5}a 所示的方向穿过横截面。

我们定义垂直于表面\ $S$ 的单位向量\ $\textbf{u}$。
通过表面\ $S$ 的表面电流密度给出为
$$
J = \dfrac{I}{S}
$$

如果我们假设表面\ $S$ 很小, 电流密度\ $\textbf{J}$ 可以认为在表面上为常数。
我们定义一个向量, 大小等于\ $\textbf{J}$ 方向由\ $\textbf{u}$ 给出
$$
\textbf{J} = \textbf{u}J
$$

通过表面\ $S$ 的\ $\textbf{J}$ 的通量的计算定义为电流\ $I$, 因为
$$
I = \int_S\textbf{J}\cdot d\textbf{S}
$$
其中\ $d\textbf{S}$ 是微分面积。
在许多情况下, $\textbf{J}$ 在整个截面上会有变化。

\subsection{体电荷密度\ $\rho$}

假设大量的电荷\ $Q$ 占据体积\ $\text{Vol}$, 一个一致的体电荷密度定义为
$$
\rho = \dfrac{Q}{\text{Vol}}
$$

非一致电荷分布可以类似考虑为
$$
Q = \int_{\text{Vol}} \rho dv
$$
其中\ $dv$ 是体积微分。

\subsection{电导率\ $\sigma$}

一般来说，在分析电场问题时，我们区分两种类型的材料：介电或绝缘材料和导电材料。
绝缘材料的特点是其介电常数\ $\varepsilon$ 和介电强度(稍后将讨论)。
导电材料的特点是其导电性\ $\sigma$。
后者表示材料的导电能力。我们定义关系
$$
\textbf{J} = \sigma\textbf{E}
$$
这是点或局部形式的欧姆定律。对于长度\ $l$ 和横截面积为\ $S$ 的线性导体，如图\ref{fig:2_5}b所示，它采用如下所示的熟悉形式。

我们之前已经看到
$$
J = \dfrac{I}{S}
$$
这种情况下表述电场为
$$
E = \dfrac{V}{l}
$$
其中\ $V$ 是导体截面的电势差。
将这两个关系代入方程\ $\textbf{J} = \sigma\textbf{E}$, 我们有
$$
\dfrac{I}{S} = \sigma\dfrac{V}{l}
$$
或者
$$
V = \dfrac{lI}{\sigma S}
$$
其中\ $l/\sigma S$ 是导体的电阻。
我们现在有\ $V = RI$,  这是更一般形式的欧姆定律。
两种表示欧姆定律的两种形式之间的差别是, 首先\ $\textbf{J} = \sigma\textbf{E}$ 称为``局部''形式表示式。
它定义了空间任意点处的量。
另一方面, 形式\ $V = RI$, 有必要引入导体的维度($S$ 与\ $l$), 形成欧姆定律的``积分''形式。

关系\ $\textbf{J} = \sigma\textbf{E}$, 以及\ $\textbf{B} = \mu\textbf{H}$和\ $\textbf{D} = \varepsilon\textbf{E}$ 称为本构方程组或本构关系，并且与麦克斯韦方程组一起使用。他们描述了基于材料的电磁特性($\varepsilon$, $\mu$ 和\ $\sigma$)的场量之间的关系。

\section{方程的局部形式}
麦克斯韦的4个方程如下:
\begin{align}
	rot\textbf{H} = & \textbf{J} + \dfrac{\partial\textbf{D}}{\partial t} \label{eq:2_1}\\
	div\textbf{B} = & 0 \label{eq:2_2}\\
	rot\textbf{E} = & - \dfrac{\partial\textbf{B}}{\partial t} \label{eq:2_3}\\
	div\textbf{D} = & \rho\label{eq:2_4}
\end{align}
由这些方程, 我们可以定义第5个关系。
对方程\eqref{eq:2_1}的两边求散度, 得到
$$
div(rot\textbf{H}) = div\textbf{J} + div\dfrac{\partial\textbf{D}}{\partial t}
$$
使用关系\ $div(rot\textbf{H}) = 0$, 我们有
$$
0 =  div\textbf{J} + \dfrac{\partial}{\partial t}(div\textbf{D})
$$
利用方程\eqref{eq:2_4}得到
$$
div\textbf{J} = -\dfrac{\partial\rho}{\partial t}
$$
这个方程称为电流连续方程。我们观察到一般的, $\partial\rho/\partial t$ 为0, 因此我们一般会得到\ $div\textbf{J} = 0$。
这很重要，因为矢量的磁通量或类似的传导电流是保守的。
换句话说，进入给定体积的电流等于离开体积的电流。事实上，在几乎所有电磁设备中，
注入设备的电流等于离开设备的电流。如果没有发生这种情况，则设备中会积聚电荷，或者从设备中提取一定量的电荷。
图\ref{fig:2_6}显示了这一点。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_6}
	\caption{由于电流密度的非零散度而导致体积中电荷的积累}
	\label{fig:2_6}
\end{figure}

假设\ $I_2 < I_1$, 我们在物体\ $V$ 内有电荷的积累。
因此, 在该体内\ $\partial\rho/\partial t\neq 0$。
表达式中的负号显示了\ $\textbf{J}$ 的通量的和是\ $I_2 < I_1$, 并且它随着时间的推移增加体积电荷密度。
事实上，对体积应用积分并利用散度定理可以得到:
$$
\int_Vdiv\textbf{J} dv = \oint_{S(V)} \textbf{J}\cdot d\textbf{s} = -\int_V\dfrac{\partial\rho}{\partial t} dv
$$
或者
$$
-I_1 + I_2 = -\dfrac{dQ}{dt}
$$
第一项为负(见1.5.3节), 得到\ $dQ/dt > 0$; 体积中的电荷随着时间的推移而增加。

现在，我们将在局部形式下分析麦克斯韦方程组。

\begin{itemize}
	\item 方程
	$$
	rot\textbf{H} = \textbf{J} + \dfrac{\partial\textbf{D}}{\partial t}
	$$
	表示磁场可以产生分解为传导电流(与\textbf{J}相关)和电通量密度的时间变化(与\ $\partial\textbf{D}/\partial t$相关)的方式。我们首先假设图\ref{fig:2_7} 中的情况，即没有电通量密度，或者电通量密度在时间上是恒定的。
	
	现在方程是\ $rot\textbf{H} =\textbf{J}$。
	我们在上一节看到, $\textbf{H}$ 与\ $\textbf{J}$ 通过一个旋度关系。
	这两个量之间的几何关系在图\ref{fig:2_7} 中显示。
	向量\ $\textbf{J}$ 的通量是电流。
	这一般是关系中的主导项, 而\ $\partial\textbf{D}/\partial t$ 相对较小, 这将在后续段落中更详细地讨论。
	\item 方程
	$$
	div\textbf{B} = 0
	$$
	如上一章所示，表示磁通量是保守的。为了理解这一点，我们可以说进入体积的磁通量等于离开体积的磁通量。
	这种关系对应于允许理解场行为的条件，并在各种情况下作为确定磁场强度的附加手段。
	然而，式\ref{eq:2_1}也建立了磁场强度\textbf{H}和\textbf{J} 之间的关系，并且在大量实际情况下相同的关系允许将\textbf{H}
	确定为\textbf{J} 的函数。
	\item 
	方程
	$$
	rot\textbf{E} = -\dfrac{\partial\textbf{B}}{\partial t}
	$$
	类似于式\eqref{eq:2_1}，表明磁通密度的时间导数能够产生电场强度\ $\textbf{E}$。
	
	连接这些量的几何情况如图\ref{fig:2_8}所示。假设\ $\textbf{B}$在离开图\ref{fig:2_8}的平面时增加，
	则电场强度\textbf{J}的方向如图\ref{fig:2_8}所示。
	\item 
	方程
	$$
	div\textbf{D} = \rho
	$$
	表明矢量\ $\textbf{D}$ 的通量不是保守的。
	我们可以很容易地想象一个体积，其中进入和离开体积的电通量之间存在差异。这种情况如图\ref{fig:2_9}所示，其中电荷位于球体的中心。
	穿过体积的通量是向外的。根据第 1 章所示的关系，$\textbf{D}$ 和\ $\rho$ 通过散度相关。
	两个量之间的几何关系如图\ref{fig:2_9}所示。穿过包围球体体积 V 的表面的矢量 \textbf{D} 的通量为非零。
\end{itemize}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_7}
	\caption{传导电流密度与磁场强度之间的关系}
	\label{fig:2_7}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_8}
	\caption{磁通密度的时间导数与电场强度之间的关系}
	\label{fig:2_8}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_9}
	\caption{电通量的性质}
	\label{fig:2_9}
\end{figure}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figure/fig2_10}
	\caption{两种各向异性材料。左边的材料是定向晶粒结构，而右边的材料是由薄隔热板制成的。}
	\label{fig:2_10}
\end{figure}

\section{各向异性}

麦克斯韦方程组可以在各种情况下和不同材料的组合中应用。然而，我们不讨论所有可能的应用，而是更愿意通过一般情况来呈现方程。
为此，有必要引入磁各向异性的概念。
考虑一种材料，其磁导率在某个方向上占主导地位。
其中一种材料是具有晶粒取向结构的铁板或由金属板制成的薄板，例如形成变压器的铁芯，如图\ref{fig:2_10}所示。

可以合理地假设，在这两种情况下，磁通量都更容易地沿\ $Ox$ 方向流动。
在第一种情况下，这是由于颗粒的方向，在第二种情况下，这是由于金属板层之间存在小间隙。假设场强度\ $\textbf{H}$，
其分量\ $H_x$ 和\ $H$ 等于\ $H$，如果\ $\mu_x$ 和\ $\mu_y$ 分别是 Ox 和 Oy 方向的磁导率，我们得到
$$
B_x = \mu_x H
$$
和
$$
B_y = \mu_y H
$$

我们注意到\ $B_x$ 大于\ $B_y$。这种情况下, \textbf{H} 与\ $\textbf{B}$ 之间存在着一个角度。
如果\ $H_x = H_y$, $\textbf{H}$ 与\ $Ox$ 构成\ $45^\circ$。同时, $\textbf{B}$ 形成的角度与\ $45^\circ$ 不同, 因为\ $B_x$ 和\ $B_y$ 是不同的。
我们得出, 关系
$$
\textbf{B} = \mu\textbf{H}
$$
其中\ $\mu$ 是一个标量, 不是一般的, 因为其不满足上面的情况。
为此, 我们引入``磁导率张量''的概念, 表示为\ $\Big\|\mu\Big\|$。
在矩阵代数中, 向量, 如\ $\textbf{B}$ 表示为
$$
\textbf{B} = \begin{bmatrix}
	B_x \\ B_y \\ B_z
\end{bmatrix}
$$
张量\ $\Big\|\mu\Big\|$ 是一个\ $3\times 3$ 矩阵
$$
\Big\|\mu\Big\| = \begin{bmatrix}
	\mu_x & 0 & 0 \\
	0 & \mu_y & 0 \\
	0 & 0 & \mu_z
\end{bmatrix}
$$
其中我们暂时假设非对角项为0, 或者我们有这个对角张量。矩阵形式下的一般表达式\ $\textbf{B} = \Big\|\mu\Big\|\textbf{H}$ 为
$$
\begin{bmatrix}
B_x \\ B_y \\ B_z
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
	\mu_x & 0 & 0 \\
	0 & \mu_y & 0 \\
	0 & 0 & \mu_z
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
H_x \\ H_y \\ H_z
\end{bmatrix}
$$
通过矩阵运算, 我们可以写作
$$
B_x = \mu_x H_x, B_y = \mu_y H_y, B_z = \mu_z H_z
$$
我们观察到当材料是各向同性时, 或者如果($\mu_x = \mu_y = \mu_z = \mu$) 方程\ $\textbf{B} = \Big\|\mu\Big\|\textbf{H}$ 假设为标量形式\ $\textbf{B} = \mu\textbf{H}$。
我们也观察到当\ $\Big\|\mu\Big\|$ 的非对角项为非0时, 变量之间存在着相关性。
而在上面的例子中, $B_x$ 只依赖于\ $H_x$, 现在其可能依赖于\ $\textbf{H}$ 的所有3个分量。
一般地, 如果张量\ $\Big\|\mu\Big\|$ 不是一个对角张量, 我们可以写出一个更复杂的关系为
$$
B_x = \mu_x H_x + \mu_{xy} H_y + \mu_{xz} H_z
$$
除了使磁性材料研究复杂化的各向异性概念之外，我们还介绍了电磁器件中经常遇到的另一种现象。
在这些器件中，磁导率不是恒定的，而是取决于所讨论的磁性材料中\ $\textbf{H}$ 的特定值。
这种现象称为``非线性''。 \textbf{B} 和 \textbf{H} 之间的一般关系现在是
$$
\textbf{B} = \Big\|\mu(H)\Big\|\textbf{H}
$$
\section{麦克斯韦方程组的近似}
为方便起见，再次给出了完整的麦克斯韦方程组:
\begin{align}
	rot\textbf{H} = & \textbf{J} + \dfrac{\partial\textbf{D}}{\partial t} \label{eq:2_5}\\
	div\textbf{B} = & 0 \label{eq:2_6}\\
	rot\textbf{E} = & - \dfrac{\partial\textbf{B}}{\partial t} \label{eq:2_7}\\
	div\textbf{D} = & \rho\label{eq:2_8}
\end{align}
在方程中所有变量之间具有相关性, 因此有唯一解。

出于实用的目的，基于运算条件对这些方程进行简化往往是有用的。
最重要的简化之一是我们可以忽略位移电流密度项\ $\partial\textbf{D}/\partial t$。
明显地, 对于静态问题, 该项为0。
如果情况不是这样, 我们注意项出现在\eqref{eq:2_5} 中的这项可以与方程\eqref{eq:2_8} 相关。
首先，我们可以想象\eqref{eq:2_8}是一个导数为零的静态方程。然而，如果\ $\rho$ 依赖于时间，
那么导数\ $d\textbf{D} / dt$不为零，就像一个时变的\ $\textbf{J}$ 可以产生一个\ $\textbf{H}(t)$一样。
这就是\eqref{eq:2_5}和\eqref{eq:2_8} 之间的联系。我们可以考虑如下的物理情形。见图\eqref{eq:2_11}我们有两个导电极板，它们之间的电位差\ $V$ 是变化的。$V$ 可以依赖于时间，由此得到的\ $\textbf{E}$ 也可以依赖于时间。
当然，产生的电场\ $\textbf{E}$是用方程\eqref{eq:2_8} (导电平行板电容器的经典情形,其中\ $p$ 与\ $V$ 有关)计算的。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figure/fig2_11}
	\caption{方程\eqref{eq:2_8}计算得到的电场\ $\textbf{E}(t)$。}
	\label{fig:2_11}
\end{figure}
如果在我们的研究范围内进行磁场计算，在方程\eqref{eq:2_5}中，
我们应该在形式上考虑\ $d\textbf{D} / dt$。
然而，让我们进行定量分析: 在频率为\ $10^5$Hz，电场强度为\ $10^5$ V / m量级时，
位移电流密度为\ $10^{-4}A/\text{mm}^2$量级。
这远小于\ $1 A / \text{mm}^2$ 量级的传导电流密度。
因此，我们可以忽略导线中的寄生电容。如果在所考虑的区域中，我们有大电容和大电场，或者所涉及的频率很高，
那么我们不能忽略这个项。在这些情况下，位移电流可以很大。然而，这构成了一个足够独特的情况，需要单独处理。

现在我们将检查方程\eqref{eq:2_5}和\eqref{eq:2_7}之间的关系。
假设初始地我们考虑导电介质。
$\textbf{B}$ 的时间变化\ $\partial\textbf{B}/\partial t$ 产生\ $\textbf{E}$, 由本构方程\ $\textbf{J} =\sigma\textbf{E}$, 定义了\ $\textbf{J}$, 这种情况下称为\ $\textbf{Je}$。
因此在方程\eqref{eq:2_5}中, $\textbf{J}$ 由两部分组成: 外部施加的\ $\textbf{Ji}$ 和\ $\textbf{Je}$,
方程\eqref{eq:2_5} 变为
$$
rot\textbf{H} = \textbf{Ji} + \textbf{Je}
$$

\eqref{eq:2_5}和\eqref{eq:2_7} 之间还有另一个常见的关联。
假设我们的研究区域位于自由空间中而不是如上的导电介质。
这种情况下 $\textbf{J}$ 为0, $\partial\textbf{B}/\partial t$ 由\eqref{eq:2_7} 产生\ $\textbf{E}$, 和\ $\textbf{D} = \varepsilon_0\textbf{E}$。方程\eqref{eq:2_5} 变为
$$
rot\textbf{H} = \dfrac{\partial\textbf{D}}{\partial t}
$$
可以写作
$$
rot\textbf{H} = \varepsilon_0\dfrac{\partial\textbf{E}}{\partial t}
$$
这个表达式与\eqref{eq:2_7} 或者为
$$
rot\textbf{E} =-\mu_0\dfrac{\partial\textbf{H}}{\partial t}
$$
形成了与电磁波相关的方程组, 通常在高频上运行。

总结这一分析，可以发现对于最常见和最实际的低频情况，位移电流密度\ $d\textbf{D} / dt$ 远小于\ $\textbf{J}$，
一般可以忽略不计。当然，对于特殊和不太常见的情况，应进行适当的分析。

这种近似可以把麦克斯韦方程组解耦成两个独立的方程组:

第一个包含如下方程组:
$$
\begin{aligned}
	rot\textbf{H} = & \textbf{J} \\
	div\textbf{B} = & 0 \\
	rot\textbf{E} = & -\dfrac{\partial\textbf{B}}{\partial t}
\end{aligned}
$$
其中
$$
\begin{aligned}
\textbf{B} = & \Big\|\mu\Big\| \textbf{H} \\
\textbf{J} = & \Big\|\sigma\Big\| \textbf{E}
\end{aligned}
$$
它们具有处理磁性问题所需要的性质

第二个系统为剩余的表示静电系统的方程为
$$
div\textbf{D} = \rho
$$
以及
$$
\textbf{D} = \Big\|\varepsilon\Big\|\textbf{E}
$$

在一个经典的、更为形式化的方法中，我们可以定义``电工学''或``准静态''领域的三个不等式:
\begin{itemize}
	\item [a.] 让我们考虑依赖于时间\ $(t)$ 和空间\ $\textbf{r}$ 的一般物理量\ $G$ 为\ $G = G(\textbf{r}, t)$。
	我们称\ $\partial G/\partial t$ 为时间导数, $\partial G/\partial x$, $\partial G/\partial y$, $\partial G/\partial z$ 为空间导数, 为简单起见表示为\ $\nabla G$。
	``拟静态''近似表示为:
	$$
	\Big|\dfrac{1}{c}\dfrac{\partial G}{\partial t}\Big|<<|\nabla G|
	$$
	对于研究领域的几乎所有点; $c$ 为光速。
	我们称在低频情况, 在系统中生成的波长远大于所考虑器件的尺寸，
	因此对器件本身几乎没有影响。然而，空间导数可能是激烈的。
	例如，可以想象，在电动旋转机械的气隙中，磁场是非常高的，并且具有很小的几何尺寸，
	这将为创造非常高的\ $\nabla G$ 值。
	
	\item [b.] 材料的速度\ $(v)$ 远小于光速
	$$
	v<< c
	$$
	\item [c.] 在能量密度方面，磁场相对于电场具有优势。利用我们得到的空气的能量密度表达式:
	$$
	\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 << \dfrac{1}{2}\dfrac{B^2}{\mu_0}\quad\textbf{或}\quad \mu_0\varepsilon_0E^2 << B^2
	$$
	并且
	$$
	|\textbf{B}|>>\dfrac{1}{c}|\textbf{E}|
	$$
	注意到\ $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$。
	如果我们考虑具有不同\ $\varepsilon$ 与\ $\mu$ 的材料, $c$ 应当替换为当地的速度\ $c' = 1/\sqrt{\varepsilon\mu}$;
	这将不会改变分析的最终结果。
\end{itemize}

这组不等式实际上与我们在低频研究中通常处理的所有情况都是相容的。再次，对于特定的情境，需要进行适当的分析。现在，我们利用上述考虑来考察\ $(\partial D/\partial t)$ 项。
$$
\Big|\dfrac{\partial D}{\partial t}\Big| \approxeq \varepsilon_0
\Big|\dfrac{\partial E}{\partial t}\Big| << \varepsilon_0 c|\nabla E| <<\varepsilon_0 c^2|\nabla B|
\approxeq \varepsilon_0 c^2\mu_0 |\nabla H| = |\nabla H| 
$$
或者
$$
\Big|\dfrac{\partial D}{\partial t}\Big| <<< |\nabla H| 
$$
注意到使用了上面``a'' 与``c'' 中给出的不等式。
因此在拟静态中我们有方程\eqref{eq:2_5} 的近似为
$$
rot\textbf{H} = \textbf{J}
$$

这一分析可以作为进一步讨论的主题。
准静态现象即使在相对较高的频率下也可以存在，例如10 GHz。
相应的波长接近30毫米，对于微电子设计来说，这个频率足以定义一个准静态问题。

\section{麦克斯韦方程的积分形式}
局部形式下的麦克斯韦方程组包含一个强大的方程组，因为在这种形式下，它们在任何一点都是有效的。
此外，由于具有简短的符号，在代数方面很容易处理和适应不同的物理情况。
然而，当有必要将它们应用于实际案例时，体积、表面和线(直接与物理设备本身相连)的概念应予以考虑。
在这种情况下，它们的一般性(局部形式)适用于特定的情况，当然也限于特定的情况。
例如，适用于电机的麦克斯韦方程组将不适用于分析不同的设备。 另一方面，通过使用它们的积分形式，通常我们可以计算和获得我们所需要的量。在实际应用中，对于几乎所有的情况，我们都要用到麦克斯韦方程组的积分形式，以便求解相应的问题。
为此，我们利用散度定理和Stokes (在第一章中介绍)定理得到方程的积分形式。

对于第一个方程\ $rot\textbf{H} = \textbf{J}$, 我们可以在一个开表面\ $S$ 上计算两边的通量为
$$
\int_Srot\textbf{H}\cdot d\textbf{s} = \int_S \textbf{J}\cdot d\textbf{s}
$$
利用Stokes定理
$$
\oint_{L(S)}\textbf{H}\cdot d\textbf{I} = I
$$

左边为\textbf{H} 沿以S为界的闭合线\ $L(S)$ 的环流;
右侧为线路\ $L(S)$ 所涉及的传导电流。上述方程，在这种形式下，被称为安培定律。

第二个方程\ $div\textbf{B} = 0$ 在体积\ $V$ 积分为
$$
\int_V div\textbf{B} dv = 0
$$
利用散度定理, 得到
$$
\oint_{S(V)}\textbf{B}\cdot d\textbf{s} = 0
$$
表明通过封闭曲面\ $S ( V )$ 的磁通量是保守的，$S ( V )$ 限定了体积\ $V$。

第三个方程\ $rot\textbf{E} = -\partial\textbf{B}/\partial t$ 变为
$$
\int_S rot\textbf{E}\cdot d\textbf{s} = -\int_S\dfrac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\cdot d\textbf{s}
$$
并且
$$
\oint_{L(S)} \textbf{E}\cdot d\textbf{I} =-\int_S\dfrac{\partial \textbf{B}}{\partial t}\cdot d\textbf{s} 
$$
我们将证明左边是\ $e.m.f.$ (以Volts为单位的电动势)；等式右边，在大多数情况下，必须根据物理情况谨慎处理为
$$
-\dfrac{d}{dt}\int_S \textbf{B}\cdot d\textbf{s} = -\dfrac{d\phi}{dt}
$$
我们得到``法拉弟定律''
$$
e.m.f = -\dfrac{d\phi}{dt}
$$
最后第4个方程\ $div\textbf{D}=\rho$ 写作
$$
\int_Vdiv\textbf{D} dv = \int_V\rho dv
$$
以及
$$
\int_{S(V)} \textbf{d}\cdot d\textbf{s} = q
$$
这称为高斯定律, 表明\ $\textbf{D}$ 沿闭曲面\ $S(V)$ 的通量等于\ $V$ 中的电荷\ $q$。

\section{电场}
为简单起见, 我们首先表示与电场相关的第二个并且更简单的方程组, 对于各向同性介质, 主要方程为
\begin{align}
	div\textbf{D} = & \rho \label{eq:2_9}\\
	\textbf{D} = & \varepsilon\textbf{E}\label{eq:2_10}
\end{align}
这里我们假设在介电材料中, 我们可以使用关系\ $\textbf{D} = \varepsilon\textbf{E}$, 其中\ $\varepsilon$ 是一个标量。
相对介电常数\ $\varepsilon$ 的概念定义为:
$$
\varepsilon_r = \dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_0}
$$
其中\ $\varepsilon$ 是材料介电常数, $\varepsilon_0$ 是自由空间的介电常数($\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}F/m$)。
通常只需通过\ $\varepsilon_r$ 设置材料的介电常数; 当有必要使用材料的介电常数\ $\varepsilon$, 我们使用关系\ $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$。

\subsection{电荷}
电荷在电气工程中具有重要意义。
然而，我们将不讨论它的应用，而是讨论它在定义静电场问题之外的一些重要概念和利用方面的用途。
\subsubsection{电场}
考虑一个电荷或一个静电荷\ $q$ 的集合.在上一章中表明，$q$ 可以在其周围的空间中产生电场。
我们还看到，方程\ $div \textbf{D} = p$，在积分形式上变成了高斯定理的表达式。
\begin{equation}\label{eq:2_11}
\oint_S\textbf{D}\cdot d\textbf{s} = q
\end{equation}
其中\ $S$ 是包含电荷\ $q$ 的体积\ $V$ 的表面。
在这种情况下，我们选择体积\ $V$ 为半径为\ $r$ 的球体。
假设自由空间( $\varepsilon = \varepsilon_0$)，我们有
$$
\oint_S \varepsilon_0 \textbf{E}\cdot d\textbf{s} = q
$$
因为\ $\textbf{E}$ 在任意\ $S$ 点处与\ $d\textbf{s}$ 共线, 我们得到
$$
\oint_S\varepsilon_0 E ds = \varepsilon_0 E\oint_S ds = q
$$
注意到\ $|\textbf{E}|$ 在\ $S$ 的任意一点处都相同, 因此与其无关。
并且
\begin{equation}\label{eq:2_12}
	E = \dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^2}
\end{equation}
为理解向量\ $\textbf{E}$ 的涵义, 我们定义向量\ $\textbf{r}$ 为\ $\textbf{r} = P -0$, 如图\ref{fig:2_12}所示。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_12}
	\caption{向量\ $\textbf{r}$}
	\label{fig:2_12}
\end{figure}

$r$ 的方向上的单位向量\ $\textbf{u}$ 可以由\ $\textbf{u} = \textbf{r}/r$ 得到。
由这个符号, 通过散度与电荷\ $q$ 相关的\ $\textbf{E}$ 可以写作如下形式：
\begin{equation}\label{eq:2_13}
	\begin{aligned}
		\textbf{E} = & \textbf{u}E \\
		\textbf{E} = & \dfrac{q\textbf{r}}{4\pi\varepsilon_0 \textbf{r}^3}
	\end{aligned}
\end{equation} 
\subsubsection{电荷上的力}
通过实验观察到，在电场强度\ $\textbf{E}$ 的作用下施加在电荷\ $q$ 上的力\textbf{F}由式给出
\begin{equation}\label{eq:2_14}
	\textbf{F} = q'\textbf{E}
\end{equation}
假设电场强度\ $\textbf{E}$ 由电荷\ $q$ 生成, 如图\ref{fig:2_13}, 我们有
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_13}
	\caption{$q'$ 上的力}
	\label{fig:2_13}
\end{figure}
\begin{equation}\label{eq:2_15}
\textbf{F} = \dfrac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\textbf{r}
\end{equation}
\ $\textbf{F}$ 的大小是
$$
F = \dfrac{qq'}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
$$

这表达式称为``库伦定律'', 由此可知, 该力与电荷的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
\subsubsection{电标量势\ $V$}
根据上一段中定义的力，可以通过表达式计算该力所做的功\ $dW$:
$$
dW = \textbf{F}\cdot d\textbf{l}
$$
其中\ $d\textbf{l}$ 是电荷\ $q$ 在力\ $\textbf{F}$ 影响下的位移。
我们对每单位电荷\ $q'$ 的功特别感兴趣。以这种方式查看它可以定义与功相关的表达式，但由表示电荷\ $q$ 做功能力的思想。
我们有
$$
\dfrac{dW}{q'} = \dfrac{\textbf{F}}{q'}\cdot d\textbf{l}
$$
定义单位电荷所做的功为\ $V$, 并使用\ $\textbf{F} = q'\textbf{E}$ 得到
$$
dV = -\textbf{E}\cdot d\textbf{l}
$$
引入负号的原因很快就会变得明显。假设电场强度沿轨迹变化，则将电荷从\ $l_1$ 移动到 $l_2$ 的每单位电荷能量可以表示为
$$
V_2 - V_1 = -\int_{l_1}^{l_2} \textbf{E}\cdot d\textbf{l}
$$

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figure/fig2_14}
	\caption{电荷位移}
	\label{fig:2_14}
\end{figure}

现在考虑一个由点电荷组成的示例，如图\eqref{eq:2_14} 所示。我们希望将测试电荷\ $q'$ 从位置\ $\textbf{r}_1$ 移动到位置\ $\textbf{r}_2$。
将\ $q'$ 移离\ $q$ 并表示\ $V_1$ 为 \ $r_1$ 处的势，\ $V_2$ 为\ $r_2$ 处的势，得到
$$
V_2 - V_1 = -\int_{l_1}^{l_2}\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^3}\textbf{r}\cdot d\textbf{l}
$$
选择路径\ $dl = dr$ 得到: $\textbf{r}\cdot d\textbf{l} = r dl = r dr$。
计算这个积分，我们有
\begin{equation}\label{eq:2_16}
	V_2 - V_1 = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)
\end{equation}
我们注意到表达式\ $dV = -\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$ 中引入的负号来自于表达式的右端项为负。
这意味着\ $V_1$ 大于 \ $V_2$。
实际上，所采用的惯例是靠近源的电位大于较远距离的电位。电场从较高的电位指向较低的电位。 因此，电场强度相对于电荷\ $q$ 是发散的。

另一方面, 积分的值依赖于的初始与最终位置。
在封闭轮廓的情况下，我们有
\begin{equation}\label{eq:2_17}
	\oint_c\textbf{E}\cdot d\textbf{l} = 0
\end{equation}

这可以容易使用图\ref{fig:2_15}a来验证。
注意到当\ $\textbf{E}$ 垂直于\ $d\textbf{l}$, 我们有\ $\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$。
在路径的其他两部分, 方向是沿径向的。
在路径的一部分\ $\textbf{E}\cdot d\textbf{l} > 0$, 而在另外一条, 大小相同但符号相反。
这发生在任意轮廓上，如图\ref{fig:2_15}b所示，其中任一分段\ $d\textbf{l}$ 可分解为径向和法向分量。这种分解允许对标量积\ $\textbf{E}\cdot d\textbf{l}$ 进行简单求值，
并且每当轮廓闭合时产生一个零和。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figure/fig2_15}
	\caption{(a)电场中的闭合轮廓。静态\ $\textbf{E}$ 的闭合等值线积分为零。(b) 将任意轮廓分解为径向和切向分量。}
	\label{fig:2_15}
\end{figure}
积分
$$
\int\textbf{E}\cdot d\textbf{l}
$$
表示单位电荷所做的功。在上面的例子中，当一个电荷以这样的方式移动并返回到起始点时，所做的总功为零。在这种情况下，我们可以说该场是保守的。这表明，如果电荷回到起始点，在这个过程中没有能量的损失或产生。也就是说，电场强度\ $E$ 可以由一个标量势\ $V$ 导出为
$$
\textbf{E} =-gradV
$$
通过计算此关系两边的环流，我们得到绝对位势的表达式为。
$$
\int \textbf{E}\cdot d\textbf{l} = -\int grad V\cdot d\textbf{l}
$$
考虑到第1章中的定义(方程\eqref{eq:1_5}), 得到
\begin{equation}\label{eq:2_18}
	V = -\int\textbf{E}\cdot d\textbf{l} + K
\end{equation}
其中\ $K$ 是一个常数。

在单电荷\ $q$ 情况下, 设置\ $d\textbf{l} = d\textbf{r}$, 我们得到
$$
V = -\int\dfrac{q}{4\pi \varepsilon_0 r^3}\textbf{r}\cdot d\textbf{r} + K
$$
或者为
$$
V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} + K
$$
通过设置, 比如\ $V = 0$ 对于\ $r=\infty$, 常数为0。
这给出
\begin{equation}\label{eq:2_19}
	V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}
\end{equation}

对于常\ $K$ 总是需要定义一个值，因为不同的\ $V$ 值可以产生相同的场强\ $\textbf{E}$，
这从图\ref{fig:2_16}a和\ref{fig:2_16}b的例子中可以反映出来。
假设\ $\textbf{E}$ 在\ $Ox$方向是常数，并且存在于器件的极板之间，我们得到
$$
\textbf{E} = -grad V = -\textbf{i}\dfrac{\partial V}{\partial x}
$$
因此, $Ex = \Delta V/l$。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.5\linewidth]{figure/fig2_16}
	\caption{两个产生相同电场的不同电势参照物的例子。}
	\label{fig:2_16}
\end{figure}

两种情况下，$Ex = 500 /l$；
然而，\ $V$ 的值不同。
我们的结论是，为了在整个区域上唯一地定义\ $V$，有必要在区域上的某一点上固定\ $V$的值。这个势的值是一个参考势。

\subsection{非保持场: 电动力}
除了保守的静电场还有另一种类型的场，称为"非保守"。假设存在一个闭合的电流环，由于导体的轮廓为\ $C$，
并包围一个曲面S。由欧姆定律可知：
\begin{equation}\label{eq:2_20}
	E = \dfrac{J}{\sigma} = J\dfrac{RS}{L}
\end{equation}
其中\ $R = L/\sigma S$ 表示电阻, $L$ 是导体的长度。

沿电路的环量为
$$
\oint_c \textbf{E}\cdot d\textbf{l} = I\dfrac{R}{L}\oint_c = I R
$$
这里使用了关系\ $I = JS$。
如上所述，由于\ \textbf{E} 是一个保守的静电场，沿封闭轮廓的环量为零。因此，
$$
0 = IR
$$

这表明由于保守场产生的电流为零。
为了说明这一点，我们使用了图\ref{fig:2_17}中的例子。
一块材料位于两个带电极板之间。由于极板间的电场作用，如图所示，在块体中存在电荷的瞬时运动；
然而，这种静电场并不能维持电流。电荷只是移动到一个新的位置，在那里它们又是静止的。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_17}
	\caption{由于静电场而产生的电荷的放置。在这些条件下，电流是不能持续的。}
	\label{fig:2_17}
\end{figure}

维持电流需要能量的来源，因为电流是电子在电路中的连续运动。
这种运动受到电路电阻的阻碍，其特征是能量以热的形式耗散(焦耳效应)。
能量必须来源于非保守的电场。举例来说，电池中的化学反应可以产生一种非保守力，通过这种力，
电子可以在一个回路中循环，直到电池中的能量耗尽。

因此，电场强度是一个保守的静电场强度\ $\textbf{E}_l$ 和另一个电场强度\ $\textbf{E}_f$ 之和。
$$
\textbf{E}_t = \textbf{E}_l +\textbf{E}_f
$$
同样使用欧姆定律\eqref{eq:2_20}, 我们得到
$$
\textbf{E} = \textbf{J}\dfrac{RS}{L}
$$
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_18}
	\caption{电路中的保守和非保守电场。只有非保守场才会引起电流的流动。}
	\label{fig:2_18}
\end{figure}

这些电场如图\ref{fig:2_18}中的电路所示, 其中\ $R$ 表示电路中的完整电阻。

沿这个电路对表达式积分, 得到
$$
\oint_c\textbf{E}_t\cdot d\textbf{l} = \oint_c \textbf{E}_l\cdot d\textbf{l} + \oint_c \textbf{E}_f\cdot d\textbf{l}
=I\dfrac{R}{L}\oint_c dl = IR
$$
因为\ $\textbf{E}_l = -gradV$, 第一个积分为0, 我们剩下
$$
\oint_c\textbf{E}_f\cdot d\textbf{l} = IR
$$
我们定义
\begin{equation}\label{eq:2_21}
	U = \oint_c\textbf{E}_f\cdot d\textbf{l}
\end{equation}
作为电池的电动势(EMF)。
存在于电池端点之间，矢量\ $\textbf{E}_f$ 如图\eqref{eq:2_18} 所示。
$U$ 和\ $\textbf{E}_f$ 通过电池的内部化学反应相关联。
\begin{equation}\label{eq:2_22}
	U = \oint_c\textbf{E}_f\cdot d\textbf{l} = \int_a^b \textbf{E}_f\cdot d\textbf{l}
\end{equation}

因此，我们可以将方程\ $U = RI$ 视为存在非保守电场\ $\textbf{E}_f$ 的证据。

\subsection{电场的散射}
当电场从一种材料传递到另一种材料时，在两种材料之间的界面处发生方向变化。
这种效应称为``折射''，类似于在具有不同折射率的两种材料之间穿过的光线的折射。
图\ref{fig:2_19}a 显示了两种具有不同介电常数的材料: 材料1中的介电常数为\ $\varepsilon_1$，材料 2 中的介电常数为\ $\varepsilon_2$。
我们假设两种材料之间的边界上存在均匀分布的静电荷密度。由于该电荷分布在界面上，因此称为表面电荷密度\ $\rho_s$。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figure/fig2_19}
	\caption{(a)两种不同材料之间界面处的电场折射; (b)用于评估电场强度的切向分量的边界的等值线. }
	\label{fig:2_19}
\end{figure}

由于场在时间上是静态的，因此\ $rot\textbf{E} = 0$。
为了评估这一点，我们定义了一个如图\ref{fig:2_19}b 所示的小表面\ $S$，无限靠近界面。因此，\ $\textbf{E}_l$ 和 \ $\textbf{E}_2$ 
在\ $S$ 上被认为是恒定的。

利用Stokes定律, 我们有
$$
\int_Srot\textbf{E}\cdot d\textbf{s} = \oint_c \textbf{E}\cdot d\textbf{l} = 0
$$
较小边(垂直于界面)的环量贡献的极限值为零，我们得到
$$
\oint_c \textbf{E}\cdot d\textbf{l} = \int_{C_1}\textbf{E}_1\cdot d\textbf{l} + \int_{C_2}\textbf{E}_2\cdot d\textbf{l} = 0
$$
其中\ $C_1$ 与\ $C_2$ 是分别是材料1和2中的轮廓。
我们注意到
$$
\textbf{E}_1\cdot d\textbf{l} = (\textbf{E}_{1t} + \textbf{E}_{1n})\cdot d\textbf{l} = E_{1t} dl
$$
类似地
$$
\textbf{E}_2\cdot d\textbf{l} = -E_{2t} dl
$$
如果\ $C_1$ 与\ $C_2$ 相等, 我们得到
$$
E_{1t}\int_{C_1} dl - E_{2t}\int_{C_2} = 0
$$
或者
\begin{equation}\label{eq:2_23}
	E_{1t} = E_{2t}
\end{equation}
这显示电场强度的切线分量是守恒的。

现在我们转向方程\ $div\textbf{D} = \rho $，
我们将界面处的无穷小体积与该方程相关联，如图\ref{fig:2_20} 所示。
将该方程积分到体积上并使用散度定理得到
$$
\oint_S\textbf{D}\cdot d\textbf{s} = q
$$
其中\ $q$ 是体积中包含的总电荷。该电荷位于圆柱体内的表面\ $S_f$:
\begin{equation}\label{eq:2_24}
	q = \rho_S S_f
\end{equation}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_20}
	\caption{围住边界的等值线，用于评估电通量密度的法向分量}
	\label{fig:2_20}
\end{figure}

换句话说, 向量\ $\textbf{D}$ 的通量分别两部分; 
因为圆柱体侧面上的通量趋于零，所以对于一个无穷小平坦的圆柱体，我们有
$$
\oint_S \textbf{D}\cdot d\textbf{s} = \int_{S_1}\textbf{D}_1 \cdot d\textbf{s} + \int_{S_2}\textbf{D}_2\cdot d\textbf{s}
$$
其中\ $S_1$ 和\ $S_2$ 是圆柱的底的表面。因为
$$
\textbf{D}_1\cdot d\textbf{s} = (\textbf{D}_{1n} + \textbf{D}_{1s})\cdot d\textbf{s} = - D_{1n}ds
$$
类似地
$$
\textbf{D}_2\cdot d\textbf{s} = D_{2n} ds
$$
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_21}
	\caption{两个不同电介质之间边界处电场强度分量之间的关系。}
	\label{fig:2_21}
\end{figure}

使用方程\eqref{eq:2_24}
$$
-D_{1n}\int_{S_1} ds + D_{2n}\int_{S_2} ds = \rho_s S_f
$$
因为在这种情况下, $S_1 = S_2 = S_f$, 我们得到
\begin{equation}\label{eq:2_25}
	D_{2n} - D_{1n} = \rho_s
\end{equation}
或者
\begin{equation}\label{eq:2_26}
	\varepsilon_2 E_{2n} - \varepsilon_1 E_{1n} = \rho_s
\end{equation}
因此，通过表面的电通量密度的法向分量的变化等于两种材料之间界面处的表面电荷。
在特别常见的情况下，当界面上没有静电荷\ $(\rho_s = 0)$时，我们得到
$$
E_{1t} = E_{2t}\quad\textbf{以及}\varepsilon_1 E_{1n} = \varepsilon_2 E_{2n}
$$
利用图\ref{fig:2_21}, 上面的关系我们可以写出如下表达式
$$
\tan\theta_1 = \dfrac{E_{1t}}{E_{1n}}
$$
并且
$$
\tan\theta_2 = \dfrac{E_{2n}}{E_{1n}} = \dfrac{D_{2n}/\varepsilon_2}{D_{1n}/\varepsilon_1}
$$
由此我们得到
\begin{equation}\label{eq:2_27}
	\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon_2}
\end{equation}

材料性能变化越大，$\textbf{E}_1$ 和\ $\textbf{E}_2$ 之间的角度变化就越大。
然而，我们必须指出，介电材料之间\ $\varepsilon_2$ 的差异相当小。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_22}
	\caption{具有两种介电材料的几何形状中的电场。中心的材料介电常数是周围材料的四倍}
	\label{fig:2_22}
\end{figure}

例如，空气和绝缘矿物油(这两种材料经常用于变压器)的介电常数之间的最大比不高于4。

图\ref{eq:2_22}显示了具有两种介电材料的结构中电场强度的角变化。
在材料1中，$\varepsilon_r = 1$，在材料 2 中，$\varepsilon_r = 4$。
该图是使用 EFCAD 计算机程序获得的。(EFCAD是专为电磁场问题的数值求解而设计的有限元计算机软件)。

\subsection{介电强度}

在许多电位变化较大的设备中，特别是在高压设备中，静电场\ $E = —gradV$ 的表达式起着非常重要的作用。我们在图 2.23 中查看了这个角色。 

假设设备的一部分处于接地电位$(V= 0)$。
器件的另一部分处于高压\ $V = V_a$。我们可以计算电场强度为
$$
\textbf{E} = -gradV
$$
因此, 作为一个好的近似
$$
E_1 = \dfrac{V_a - 0}{l_1}\quad\text{以及}E_2 = \dfrac{V_a - 0}{l_2}
$$
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figure/fig2_23}
	\caption{具有低强度和高强度电场的高压器件的示意图}
	\label{fig:2_23}
\end{figure}

对于\ $l_1 > l_2$, 明显有\ $E_2 > E_1$。
设备的某些部分可能存在较大的场强度(或电位梯度)。
如果这些磁场超过允许的限制，它们可能会对设备造成有害影响或损坏。

我们现在定义绝缘体的介电强度\ $K$。
考虑两块金属板之间的绝缘材料，相隔一定距离\ $l$ 并承受电位差\ $V$，如图\ref{fig:2_24}所示。

由于电位\ $V$ 的施加，如图所示，两个板上会积聚正电荷和负电荷。如果我们增加电位\ $V$，最终会达到临界电位 $V_c$，
在此时极板之间累积的电荷会产生电流（在板之间产生电弧，穿透或``破坏''绝缘体。发生这种情况时，材料的绝缘性能就会丧失。
因此，介电强度定义为
\begin{equation}\label{eq:2_28}
	K = \dfrac{V_c}{l}(V/m)
\end{equation}


$K$ 代表绝缘体在不击穿的情况下可以支撑的最大电场强度(因此是每单位长度的最大电位差)。
请注意，$K$ 的单位与电场强度的单位相同。因此，回到图\ref{fig:2_23}，重要的是设备中的最高场强度(在本例中为\ $\textbf{E}_2$)不超过遇到该场的材料的介电强度。从这个意义上说，我们观察到了解设备中的电场非常重要，尤其是高强度场。
对场分布有良好、详细的了解，可以设计设备并优化其各种尺寸，从而使设计安全、紧凑且成本合理。

最后，我们指出，过大的电场强度不仅会损坏设备，还可能对恰好处于高场强度区域的人员和牲畜造成危险。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_24}
	\caption{介电强度的定义。绝缘体击穿的电场定义为绝缘体的介电强度}
	\label{fig:2_24}
\end{figure}

\subsection{介电介质电场的拉普拉斯方程和泊松方程}

假设在所研究的域中没有时间相关量，我们可以定义一个电标量势\ $V$，从中可以推导出保守电场强度\ $\textbf{E} = —gradV$。 这种关系对静电场有效，因为\ $rct\textbf{E} = 0$， $(rot(—gradV) = 0)$。
由于\ $rot(gradV)$ 始终为零，因此电场强度的定义是正确的。但是，如果\ $dB/dt$ 不为零，则不能使用此定义。
在静态情况下，我们有
$$
\begin{aligned}
	div\textbf{D} = & \rho \\
	div\varepsilon\textbf{E} = & \rho \\
	div\varepsilon(gradV) = -\rho
\end{aligned}
$$
显式形式为
\begin{equation}\label{eq:2_29}
	\dfrac{\partial}{\partial x}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial x}
+\dfrac{\partial}{\partial y}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial y}
+\dfrac{\partial}{\partial z}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial z} = -\rho
\end{equation}
在二维情况下变为
\begin{equation}\label{eq:2_30}
	\dfrac{\partial}{\partial x}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial x}
+\dfrac{\partial}{\partial y}\varepsilon\dfrac{\partial V}{\partial y} = -\rho	
\end{equation}

这是泊松方程，它定义了存在静电场的介电域中的电势分布。
为了求解这个方程，我们必须首先施加边界条件，或者换句话说，指定解域边界上的电位。
此外，我们必须指定几何形状和介电材料，以及区域中的任何静电荷密度。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_25}
	\caption{由于板上的电压差而导致的平行板电容器中的电场。}
	\label{fig:2_25}
\end{figure}

如果区域中没有静电荷($\rho = 0$) 以及存在单一的介电材料, 方程变为
\begin{equation}\label{eq:2_31}
	\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0
\end{equation}

这是一个拉普拉斯方程。在这种情况下，研究区域中的电场源是施加电位差的边界条件。 

必须指出的是，对于大多数最简单的现实问题来说，该方程的解析解是极其困难的，并且在复杂几何形状的情况下，几乎是不可能的。目
前，我们为一个非常简单的问题提出了这个方程的解。

我们再次使用平行板电容器的例子，我们希望找到板之间的场强度。边缘效果被忽略。问题几何形状如图\ref{fig:2_25} 所示。

几何边界上的条件是 V = Va 在 $x = 0$ 处\ $V = V_a$，$x = l$ 处\ $V = V_b$。
假设没有边缘效应，问题是一维的，在\ $Ox$ 方向上发生变化。因此，拉普拉斯方程是
$$
\dfrac{\partial^2 V}{\partial x^2} = 0
$$
由直接积分, 该问题的解可以写作\ $V(x) = ax + b$。
由已知的边界条件,  我们得到
$$
V_a = a\cdot 0 + b
$$
以及\ 
$$
V_b = a.l + b
$$
这可以计算常数\ $a$ 与\ $b$。
将这些值代入解中, 我们得到
$$
V(x) = \dfrac{V_b - V_a}{l} x + V_a
$$
由\ $\textbf{E} = -grad V$, 这种情况下, 有
$$
\textbf{E} = -\textbf{i}\dfrac{\partial V}{\partial x}\quad \text{或者}\quad E_x = -\dfrac{\partial V}{\partial x}
$$
因此
$$
E_x = \dfrac{V_a-V_b}{l}
$$
如果\ $V_a > V_b$, $E_x$ 指向正\ $x$ 方向, 或者按要求\ $\textbf{E}$ 指向势减小的方向。

\subsection{导体介质电场的拉普拉斯方程}
这里我们使用``电流连接''方程\ $div\textbf{J} = 0$。
虽然这个表达式来自一个与磁相关的方程，但它处理的是静电场，这就是它在这里提出的原因。
现在认为电位差应用于导电介质。使用\ $\textbf{J} = \sigma\textbf{E}$ 和\ $\textbf{E} = -gradV$，我们得到
$$
div\textbf{J} = div\sigma\textbf{E} = div\sigma(-grad V) = 0
$$
或者如之前
\begin{equation}\label{eq:2_32}
		\dfrac{\partial}{\partial x}\sigma\dfrac{\partial V}{\partial x}
	+\dfrac{\partial}{\partial y}\sigma\dfrac{\partial V}{\partial y}
	+\dfrac{\partial}{\partial z}\sigma\dfrac{\partial V}{\partial z} = 0
\end{equation}
这是拉普拉斯方程。关于这个方程的大多数考虑因素与上面介绍的介电介质的情况类似。

\section{静磁场}
描述低频下磁性问题的方程组为
$$
\begin{aligned}
	rot\textbf{H} = & \textbf{J} \\
	div\textbf{B} = & 0 \\
	rot\textbf{E} = &-\dfrac{\partial\textbf{B}}{\partial t} 
\end{aligned}
$$
在静磁学中, 所有的量与时间无关, 我们有
\begin{align}
	rot\textbf{H} = &\textbf{J}\label{eq:2_33} \\
	div\textbf{B} = & 0\label{eq:2_34}
\end{align}
而方程
\begin{equation}\label{eq:2_35}
	rho\textbf{E} = 0
\end{equation}
在这种情况下不起任何作用。

本构关系为
\begin{align*}
	\textbf{B} = & \mu\textbf{H} \\
	\textbf{J} = &\textbf{E}
\end{align*}

乍一看，静磁似乎非常有限，因为大多数设备都有可变电流源和/或有运动。然而，当结构的构建方式我们可以忽略导电材料中的\ $\partial\textbf{B}/\partial t$ 时，可以将其视为静磁材料。换句话说，可以将每个位置的结构作为静态结构进行研究，然后组合连续的结果以获得其动态行为。

此外，我们还将在这里介绍不同类型的磁性材料、磁场能量的表达和电感的概念。
尽管在某些情况下有必要使用时间的概念，但我们获得的结果本质上是静态的。

\subsection{静磁学中的麦克斯韦方程}
\subsubsection{方程\ $rot\textbf{H} = \textbf{J}$}
该方程以\ $\textbf{J}$ 定性和定量地定义了\ $\textbf{H}$ 的产生。
我们记得积分形式的相同关系是
\begin{equation}\label{eq:2_36}
	\int_S(rot\textbf{H})\cdot d\textbf{s} = \int_S\textbf{J}\cdot d\textbf{s}
\end{equation}
其中\ $S$ 是\ $\textbf{H}$ 和\ $\textbf{J}$ 上定义表面。
利用Stokes定理, 表达式的左端可以写作
\begin{equation}\label{eq:2_37}
	\int_S(rot\textbf{H}) = \oint_c\textbf{H}\cdot d\textbf{l}
\end{equation}
其中\ $C$ 是包围曲面 $S$ 的轮廓。
方程的右侧\eqref{eq:2_36}表示矢量\ $\textbf{J}$ 穿过表面\ $S$的通量。
该通量是穿过\ $S$ 的传导电流。即
\begin{equation}\label{eq:2_38}
	\oint_c\textbf{H}\cdot d\textbf{l} = I
\end{equation}
这表示\ $\textbf{H}$ 沿环绕曲面\ $S$ 的等值线\ $C$ 的循环等于穿过该曲面的电流。
以上述形式书写的麦克斯韦方程\ $rot\textbf{H} = -\textbf{J}$ 被称为``安培定律''。

现在我们看看将这个方程应用于携带电流\ $I$ 的无限导线的情况，如图\ref{fig:2_26} 所示。
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_26}
	\caption{使用安培定律计算无限导线的磁场强度。}
	\label{fig:2_26}
\end{figure}

通过选择表面\ $S_1$ 作为半径为\ $R$ 的圆，可以简化安培定律的应用为:
$$
\oint_c\textbf{H}\cdot d\textbf{l} = I
$$

由于\ $\textbf{H}$ 和\ $d\textbf{l}$ 是同一方向的共线向量，
因此标量乘积\ $\textbf{H}\cdot d\textbf{l}$ 等于\ $\textbf{H}$ 和\ $d\textbf{l}$ 大小的乘积。
由于材料属性的均匀性，\ $\textbf{H}$ 在沿\ $C_1$ 的所有点上都是相同的，并且不依赖于\ $C_1$。因此，积分变成
$$
H\oint_c dl = I\quad\text{或者 }\quad H2\pi R = I
$$
以及
\begin{equation}\label{eq:2_39}
	H = \dfrac{I}{2\pi R}
\end{equation}

我们在这里注意到，选择\ $S$ 使得\ $d\textbf{l}$ 与\ $\textbf{H}$ 重合方便了求解。

现在假设如图\ref{fig:2_27}所示的表面\ $S$。
因为\ $S_2$ 是一个非规则表示, 我们将\ $C_2$ 划分为\ $n$ 个线段得到
$$
\oint_{C_2}\textbf{H}\cdot d\textbf{l} = \int_{l_1} \textbf{H}_1\cdot d\textbf{l}
+\int_{l_2}\textbf{H}_2\cdot d\textbf{l}_2 + \ldots + \int_{l_n}\textbf{H}_n\cdot d\textbf{l}_n
$$

该方程有\ $n$ 个未知数。需要指出的是，虽然安培定律仍然有效，但将其应用于这一特定问题实际上是不可能的。
另一个困难是，由于\ $\textbf{H}$ 始终与以导体为中心的圆相切，
因此标量积\ $\textbf{H}\cdot d\textbf{l}$ 变为\ $H_n d l_n\cos(\theta_n)$，其中\ $\textbf{H}_n$ 和\ $d\textbf{l}_n$ 之间的角度\ $\theta_n$ 因点与点而异。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_27}
	\caption{使用具有不规则轮廓的安培定律。}
	\label{fig:2_27}
\end{figure}

我们可以选择另一种类型的曲面, 如图\ref{fig:2_28} 所示的\ $S_3$ 没有包含导体。
在这个表面上, 
$$
\oint_{C_3}\textbf{H}\cdot d\textbf{l} = 0
$$
因为穿过表面\ $S_3$ 的电流为0, 这也蕴含有\ $\textbf{H} = 0$ 吗? 事实上, 应用安培定律, 
由电流生成的场强度\ $\textbf{H}$ 不依赖于选择的表面, 因为在导体中\ $I\neq 0$, $\textbf{H}$ 也不为0。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_28}
	\caption{没有包含电流的环面}
	\label{fig:2_28}
\end{figure}
事实上, 在图\ref{fig:2_28}中观察到\ $\textbf{H}_1\cdot d\textbf{l}_1 > 0$ 以及\ $\textbf{H}_2\cdot d\textbf{l}_2 > 0$。
根据净0值, 只有所有截面的和会生成0。

我们指出，安培定律始终有效，但其应用并不总是一件简单的事情。

方程 \ $rot\textbf{H} = \textbf{J}$ 的一个重要方面是当我们将散度应用于方程的两边时，这是显而易见的。
通过这样做，我们得到方程
\begin{equation}\label{eq:2_40}
	div\textbf{J} = 0
\end{equation}
这是电连续性方程。这表明传导电流(即矢量\ $\textbf{J}$ 的磁通量)是保守的;
也就是说，进入体积的电流与离开体积的电流相同。
\subsubsection{方程\ $div\textbf{B} = 0$}

该方程在某种意义上类似于上面的方程\ $ div\textbf{J} = 0$。
在这种情况下，磁通量是保守的。我们注意到，这个方程并没有表明\ $\textbf{B}$ 是如何生成的;
它仅定义保守通量条件。我们将在随后的段落中看到，这个条件的应用为解决某些问题提供了一个方便的关系。
\subsubsection{方程\ $rot\textbf{E} = 0$}
该方程是\ $rot\textbf{E} = —d\textbf{B}/dt$ 的一个特殊情况，表示由于\ $\textbf{B}$ 的时间变化而产生电场的方式。
电场强度旋度为零的事实并不意味着在静磁情况下电场强度为零。
没有理由不能施加域外部的电场，我们可以将其视为恒定。然而，在所研究的区域中，对于静磁学，我们不能让域内包含的器件产生电场。

\subsection{比奥-萨瓦尔定律}
以上三个方程构成了静磁学的主要关系。
我们可以归因于安培定律，源自\ $rot\textbf{H} = \textbf{J}$，相对于其他两个方程具有一定的突出性，因为它将磁场强度\ $\textbf{H}$ 与其生成源\ $\textbf{J}$ 联系起来。虽然这条定律在任何情况下都有效，但它的适用，在解决实际问题方面，仅限于少数简单情况，
除非我们使用近似值。这些具有精确解的少数应用之一是上面考虑的无限线的示例，尽管考虑无限线本身就是一个近似值。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_29}
	\caption{比奥-萨瓦尔定律的应用}
	\label{fig:2_29}
\end{figure}

比奥-萨瓦尔定律是计算\ $\textbf{H}$ 作为产生它的电流的函数的辅助表达式，但它仅在均质材料中有效。
有必要指出的是，从概念上讲，比奥-萨瓦定律对麦克斯韦方程组绝对没有任何补充。
我们可以将其视为安培定律的代数变体。该定律由 Biot 和 Savart 提出，作为实验定律。
比奥和萨瓦特定律在场论发展中引入的时间相对较晚。这种推导相当复杂，涉及我们尚未定义的电磁量，我们在这里简单地将其用作给定关系。

为了介绍比奥-萨瓦尔定律，我们使用图\ref{fig:2_29} 来计算\ $P$ 点的磁场强度\ $\textbf{H}$。
该场强度由通过任意形状导体的电流\ $I$ 产生。比奥-萨瓦尔定律以微分形式写成
\begin{equation}\label{eq:2_41}
	d\textbf{H} = I\dfrac{d\textbf{l}\times \textbf{r}}{4\pi r^3}
\end{equation}

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_30}
	\caption{使用比奥-萨瓦定律计算承载电流/的无限长导线的磁场强度。}
	\label{fig:2_30}
\end{figure}
导线被分成小段，我们可以与之关联一个矢量\ $d\textbf{l}$，其方向与电流\ $I$相同。
我们现在必须将向量\ $\textbf{r}$ 定义为\ $\textbf{r} = P —M$。
向量\ $d\textbf{H}$ 的和提供了由电流\ $I$ 在点\ $P$ 处生成的场\ $\textbf{H}$。$d\textbf{H}$ 的方向如图\ref{fig:2_29} 所示。
获得\ $d\textbf{H}$ 方向的一种方法是使用叉积\ $d\textbf{l}\times\textbf{r}$。\ $d\textbf{H}$ 的大小由下式给出
\begin{equation}\label{eq:2_42}
	dH = \dfrac{I dl}{4\pi r^2}\sin\theta
\end{equation}
其中\ $\theta$ 是\ $d\textbf{l}$ 与\ $\textbf{r}$ 的夹角。

比奥-萨瓦尔定律允许由于形状不规则的导体而计算\ $\textbf{H}$。
在这种情况下，我们将导体划分为有限数量的段，并将\ $d\textbf{H}$ 的结果值向量求和。
编写一个自动执行这些作的计算机程序并不难。 

然而，我们只能以分析方式将比奥-萨瓦定律应用于有限数量的结构。例如，我们看一下由承载电流的无限导线产生的\ $\textbf{H}$ 的计算结果。
\ $\textbf{H}$ 是在距导线距离\ $R$ 的点\ $P$ 处计算的(见图\ref{fig:2_30})。
我们注意到\ $d\textbf{H}$ 垂直于图\ref{fig:2_30}的平面。其量级为
$$
	dH = \dfrac{I dl}{4\pi r^2}\sin\theta
$$
或者
\begin{equation}\label{eq:2_43}
	dH = \dfrac{I dl}{4\pi r^2}\cos\phi
\end{equation}
注意到
$$
\tan\phi = \dfrac{I}{R}\quad\text{以及}\quad \cos\phi = \dfrac{R}{r}
$$
我们有
$$
dl = R\sec^2\phi d\phi\quad\text{以及}\quad r = \dfrac{R}{\cos\phi}
$$
将表达式代入\ref{eq:2_43}, 简化后得到
$$
H = \dfrac{1}{4\pi R}\int_{-\pi/2}^{+\pi/2}\cos\phi d\phi
$$
积分极限\ $-\pi/2$ 与\ $+\pi/2$, 是对应及线在\ $-infty$ 与\ $+\infty$ 处的角度\ $\phi$。
由此我们得到
$$
H = I/2\pi R
$$
这个结果与在相同情况下使用安培定律得到的结果是相同的。

上面给出的例子有一个教学意义。安培定律的使用要简单得多，我们应该尽可能使用它。 然而，在许多情况下，比奥-萨瓦尔定律是合适的工具。

需要指出的是，除了这两个定律之外，没有其他分析方法可以计算场\ $\textbf{H}$ 作为\ $\textbf{J}$ 的函数，用于一般应用。
仅数值方法就可以确定大多数现实几何形状中的\ $\textbf{H}$。

\subsection{磁场散射}

以类似于电场强度\ $\textbf{E}$ 的方式，如果两种材料具有不同的磁导率，磁场强度\ $\textbf{H}$ 在从一种材料传递到另一种材料的过程中也会发生角度变化。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_31}
	\caption{磁导率不同的两种材料交界处磁场强度的边界条件。}
	\label{fig:2_31}
\end{figure}

考虑两种材料，它们分别具有磁导率性\ $\mu_1$ 和\ $\mu_2$，如图\ref{fig:2_31}所示。
利用该方程
$$
rot\textbf{H}\quad\text{和}\quad div\textbf{B} = 0
$$
得到\ $\theta_1$ 和\ $\theta_2$ 之间的关系。
假设两种材料的边界上没有电流。利用这些方程的方式类似于第2.7.3节中对方程\ $rot\textbf{E}=0$ 和\ $div\textbf{D} = 0$的处理，我们得到等价的结果
\begin{itemize}
	\item $\textbf{H}$\ 切向分量的连续性
	$$
	H_{1t} = H_{2t}
	$$
	\item $\textbf{B}$ 的法向分量连续性
	$$
	B_{1n} = B_{2n}
	$$
\end{itemize}
类似地我们观察到
$$
\tan\theta_1 = \dfrac{H_{1t}}{H_{1n}}\quad\text{以及}\quad
\tan\theta_2 = \dfrac{H_{2t}}{H_{2n}}
$$
并且
$$
\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \dfrac{H_{2n}}{H_{1n}}
$$
回顾到\ $\textbf{H} = \textbf{B}/\mu$, 我们得到
\begin{equation}\label{eq:2_44}
\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2} = \dfrac{\mu_1}{\mu_2}
\end{equation}

正如我们在接下来的章节中所看到的那样，有磁导率非常大的材料，也有磁导率很低的材料。
基于这些渗透率，我们可以得到重要的关系式。例如，假设\ $\mu_2 = \mu_0, \mu_1 = 1000\mu_0$,
$\theta_1 = 85^\circ$。
那么
$$
\tan\theta_2 = \dfrac{\tan 85^\circ}{1000}
$$
或者
$$
\theta_2 = 0.65^\circ
$$
\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.3\linewidth]{figure/fig2_32}
	\caption{磁导率不同的两种材料交界处磁场强度的边界条件。}
	\label{fig:2_32}
\end{figure}

这一效果在图\ref{fig:2_32}中得到了证实。
值得注意的是，与电场相比，角度的变化要大得多。
作为一个例子，在通过铁($\mu_1 = 1000\mu_0$) 和空气(\ $\mu_2 = \mu_0$)之间的边界。
磁场H经历了一个角度的变化，使得在空气中，它实际上垂直于铁。

见图\ref{fig:2_33}a和b显示了电场($\varepsilon_2/\varepsilon_1 = 5$)
和磁场($\mu_2/\mu_1 = 1000$)的角度变化。这些例子是通过使用EFCAD程序获得的。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figure/fig2_33}
	\caption{(a)由于相对介电常数为5的电介质材料引起的电场强度的变化; (b)由于相对磁导率为1000的磁性材料引起的磁通密度的变化。}
	\label{fig:2_33}
\end{figure}

\subsection{磁场中的能量}
如果给定材料中存在磁场强度\ $\textbf{H}$(并由此得到磁感应强度\ $\textbf{B}$)，
则存在与该磁场相关的磁能。
在给定的时间内, 例如在零和T之间, 产生磁通密度\ $\textbf{B}$ 需要一定的能量。
为了建立磁能的表达式，考虑图\ref{fig:2_34}a中的情况, 表示磁导率为\ $\mu$，场强为\ $\textbf{H}$，磁通密度为\ $\textbf{B}$的材料。

\begin{figure}
	\centering
	\includegraphics[width=0.6\linewidth]{figure/fig2_34}
	\caption{(a)磁导率为\ $\mu$，磁场强度为\textbf{H}，磁通密度为\ $\textbf{B}$的材料;
	(b)产生等效磁场的螺线管代替磁场强度。}
	\label{fig:2_34}
\end{figure}

为了讨论这个问题，我们用一个小的螺线管代替磁场，螺线管的长度为\ $\delta l$，横截面为$S$ (见图
\ref{fig:2_34}b)，使得螺线管产生的磁场强度与磁场强度\ $\textbf{H}$相等。
这里的电流定义为线性电流密度\ $\textbf{J}$，表示单位长度的电流( $A / m$ )。
在这种情况下，$I$ 等于\ $J\delta l$。写出安培定律，并假设螺线管外的场为零(因为我们使用"长螺线管"近似), 可得


